[공부의신] 중학생을 위한 수학 문제집풀이 (2) - 연립방정식 수학

[공부의신] 중학생을 위한 수학 문제집풀이 (2) - 연립방정식 

단원: 중2 3단원 - 방정식과 부등식 中 연립방정식

 

 

 

A, B 두 그릇에 서로 농도가 다른 소금물이 각각 400g 씩 들어 있다.

각 그릇에서 소금물을 100g 씩 덜어 내어 서로 교환해서 섞었더니

A 그릇의 소금물의 농도는 11% 가 되고 B 그릇의 소금물의 농도는 9% 가 되었다.

처음 A, B 그릇에 들어 있었던 소금물의 농도를 각각 구하여라.

 

 

 

① 문제 이해하기

 

A와 B 각각100g 씩 덜어내어 섞을때,

A 그릇에서 덜어낸 100g 소금물의 농도는 A 소금물 전체의 농도와 같고,

B 그릇에서 덜어낸 100g 소금물의 농도는 B 소금물 전체의 농도와 같다.

또한,

각각 100g 씩 덜어내서 상대편에 섞었기 때문에

섞고 난 후의 전체 양은 변하지 않고 400g으로 유지된다.

다만 농도가 변하기 때문에, A와 B 안에 있는 소금의 양만 변하는 것이다.

 

문제에서 물어본, 처음 A와 B의 농도를 각각

x, y라 하자.

 

② 공식 적용하기

 

소금물의 농도 = (소금의 양 / 전체 소금물의 양) X 100

소금의 양 = (농도 / 100) X 전체 소금물의 양

 

먼저, 섞은 후부터 생각해 보자.

섞은 후 A, B의 농도를 알기 때문에, 소금의 양을 구해낼 수 있다.

 

 

(A그릇 소금의 양 / 전체 소금물의 양) X 100 = 11% 이고

전체 소금물의 양이 400g 이므로

A 그릇에 들어있는 소금의 양을 계산하면 44g이다.

마찬가지로

(B그릇 소금의 양 / 전체 소금물의 양) X 100 = 9% 이므로

계산하면 B 그릇에 들어있는 소금의 양은 36g 이다.

 

그러면, 이번에는 섞기 전을 생각해 보자.

<문제 이해하기> 에서 얘기했듯, 처음 A, B 그릇의 농도는 각각 x%, y%였고

전체는 400g 이었으므로

처음 A, B에 들어있던 소금의 양은 이와 같은 식으로 표현할 수 있다.

A에 들어있던 소금의 양 : (□ / 400) X 100 = x

□ = 4x

같은 방법으로 B에 들어있던 소금의 양은

(△ / 400) X 100 = y

△ = 4y

 

그리고,

각 A, B에서 100g 씩 덜어낸 물의 농도는

A, B 전체의 농도와 같다.

다시말해, 같은 농도 안에서는

일정한 양의 물 안에 일정량의 소금이 고르게 펴져 있다는 의미이고,

400g 물에 각각 4x, 4y 만큼이 있으므로

1/4인 100g 의 양에는 x, y 만큼의 소금이 들어있을 것이다.

 

(이해가 가시나요?^^)

 

 

따라서,

A 그릇에는 기존에 있던 4x 만큼의 소금 중 x만큼이,

B 그릇에는 기존에 있던 4y 만큼의 소금 중 y 만큼이

100g 안에 포함되어 나간 것이다.

그러면 옮기고 나서 A, B 안에 있는 소금의 양은

옮기고 남은 양새로 받은 양을 더한,

3x + y3y + x 이다 !!

 

그런데...

아까 앞에서, A와 B 안에 있는 소금의 양은

44g 과 36g 으로 이미 구했다!

그러므로 식을 다시 세워보면,

A 그릇에 들어간 소금은 3x + y = 44

B 그릇에 들어간 소금은 3y + x = 36 이라는 두 가지 식이 세워진다.

 

③ 답 찾기

 

3x + y = 44

3y + x = 36

을 연립하면 8y = 64, y = 8

x = 12

따라서 A 그릇의 기존 농도는 12%, B 그릇의 기존 농도는 8% !!

 

정답 ^^

 

 

사실 소금물의 농도를 구하는 문제는,

나쁜여자도 학생때 정말 어려워했던 유형이었다.

 

오늘 기억해야 할 것은 딱 두가지.

 

하나는,

많은 학생들이 문제를 풀때 (특히 연립방정식을 풀때)

x와 y가 나온다는 것은 알면서도

무엇을 x, y로 잡아야 할지는 헷갈리는 경우가 많다.

그럴땐 무조건! 문제에서 물어보는 것을 미지수로 잡자.

굳이 소금물 문제가 아니더라도,

거리든, 시간이든, 사람 수이든간에

문제에서 구하라는 것을 미지수로 잡으면 생각보다 쉽게 식을 세울 수 있다.

 

그리고 두번째는,

너무 어렵게 생각하지 말라는 점이다.

문제가 이해되지 않을땐 상식적으로 생각해보면 도움이 된다.

예를 들어 큰 통에 담겨있는 소금물이 있을 때,

그것을 컵으로 한 잔 떠냈다고 생각해보자.

작은 컵에 담겼다고 해서, 그 안에 들어있는 물이 짜지 않을거라고 생각하는 사람은 없다.

우리는 상식적으로,

전체 양이 변하더라도 농도는 같다는 사실을 알고 있는 것이다.

하지만 문제에서 이를 적용해 식을 세우기는

어려워하는 학생들이 많다.

문제가 이해되지 않을때, 도대체 식을 어떻게 세워야 할지 모를때는

상식적으로 쉬운 관점에서 접근하도록 하자!

 

음.... 오늘 문제는 그래도

저번 집합 문제보다 훨씬 고난이도였던 것 같다~ ㅋㅋ

일단은 혼자 힘으로 식을 세워보고,

안되면 나쁜여자의 해설을 참고하시길^^

 

다음번에는 3학년 문제로 돌아올테니 오늘은 이만 안녕~ㅎ

 

 

 


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